Thế lưỡng nan người tù là một trò chơi trong đó mỗi người chơi, khi hành động vì lợi ích riêng một cách duy lý, đều chọn không hợp tác – và kết quả là cả hai cùng tệ hơn so với nếu cùng hợp tác. Nó là ví dụ nổi tiếng nhất cho thấy duy lý cá nhân không tự động dẫn đến kết quả tốt cho tập thể.
Cân bằng Nash là khái niệm trung tâm để phân tích những tình huống như vậy: một tổ hợp chiến lược mà tại đó không người chơi nào có lợi khi đơn phương đổi chiến lược của mình, khi chiến lược của người khác giữ nguyên. Trong thế lưỡng nan người tù, cùng không hợp tác là cân bằng Nash duy nhất.
Phần dưới đi qua lịch sử của lý thuyết trò chơi, dựng bảng thưởng phạt của thế lưỡng nan, hướng dẫn cách tìm cân bằng Nash, xem điều gì thay đổi khi trò chơi lặp lại, giới thiệu những trò chơi khác cũng quan trọng không kém, và chỉ ra chỗ con người thật lệch khỏi dự báo lý thuyết.
Lý thuyết trò chơi nghiên cứu gì và ra đời thế nào
Lý thuyết trò chơi là công cụ toán học phân tích các tình huống tương tác chiến lược: kết quả của mỗi người phụ thuộc không chỉ vào lựa chọn của mình mà vào lựa chọn của người khác, và mỗi người biết điều đó. Các mốc chính:
- 1838 – Antoine Augustin Cournot phân tích hai doanh nghiệp cạnh tranh về sản lượng, trong đó mỗi bên chọn sản lượng tối ưu khi cho trước sản lượng của bên kia. Cân bằng Cournot về bản chất là một cân bằng Nash, ra đời trước Nash hơn một thế kỷ.
- 1928 – John von Neumann chứng minh định lý minimax cho trò chơi hai người tổng bằng không: trong những trò chơi mà một bên được đúng bằng bên kia mất, luôn tồn tại một chiến lược (có thể ngẫu nhiên hoá) bảo đảm mức kết quả tốt nhất có thể trong trường hợp xấu nhất.
- 1944 – von Neumann và Oskar Morgenstern xuất bản "Theory of Games and Economic Behavior", đặt nền móng cho lĩnh vực và cho lý thuyết lợi ích kỳ vọng.
- 1950–1951 – John Nash mở rộng khái niệm cân bằng cho mọi trò chơi hữu hạn, không chỉ tổng bằng không, và chứng minh luôn tồn tại ít nhất một cân bằng nếu cho phép chiến lược hỗn hợp.
- 1950 – Merrill Flood và Melvin Dresher tại RAND thử nghiệm trò chơi mà về sau Albert Tucker đặt tên và kể thành câu chuyện hai người tù.
- 1994 – Nash, John Harsanyi và Reinhard Selten cùng nhận giải Nobel kinh tế cho các đóng góp về cân bằng trong trò chơi không hợp tác.
Ngày nay lý thuyết trò chơi được dùng trong kinh tế học công nghiệp, thiết kế đấu giá, quan hệ quốc tế, sinh học tiến hoá và khoa học máy tính. Nó không đòi người chơi phải là người: John Maynard Smith áp dụng nó cho hành vi động vật, nơi "chiến lược" được chọn lọc tự nhiên giữ lại thay vì được tính toán.
Bảng thưởng phạt của thế lưỡng nan người tù
Câu chuyện kinh điển: hai nghi phạm A và B bị giam riêng, không liên lạc được. Mỗi người chọn im lặng (hợp tác với nhau) hoặc khai (phản bội). Số năm tù tương ứng, viết theo thứ tự (A, B), số nhỏ hơn là tốt hơn:
| B im lặng | B khai | |
|---|---|---|
| A im lặng | (1 năm, 1 năm) | (10 năm, 0 năm) |
| A khai | (0 năm, 10 năm) | (5 năm, 5 năm) |
Đặt mình vào vị trí A. Nếu B im lặng, A khai được 0 năm thay vì 1 năm – khai tốt hơn. Nếu B khai, A khai bị 5 năm thay vì 10 năm – khai vẫn tốt hơn. Bất kể B làm gì, khai luôn tốt hơn với A. Đó là một chiến lược trội. Lập luận đối xứng cho B. Hai người duy lý cùng khai và nhận 5 năm mỗi người, trong khi nếu cùng im lặng họ chỉ bị 1 năm.
Cấu trúc cốt lõi không nằm ở câu chuyện nhà tù mà ở thứ tự các kết quả: cám dỗ phản bội tốt hơn phần thưởng hợp tác, phần thưởng hợp tác tốt hơn hình phạt cùng phản bội, và hình phạt đó lại tốt hơn kết cục của kẻ bị phản bội. Bất kỳ tình huống nào có thứ tự này đều là một thế lưỡng nan người tù, dù trông khác hẳn bề ngoài. Lưu ý thêm: kết quả cùng khai là cân bằng Nash nhưng không hiệu quả Pareto – đây là khoảng cách giữa duy lý cá nhân và tối ưu tập thể.
Tìm cân bằng Nash từng bước
Với trò chơi hai người dạng bảng, có một quy trình máy móc để tìm cân bằng Nash thuần tuý. Áp dụng được cho bất kỳ bảng nào, kể cả khi không có chiến lược trội:
- Loại chiến lược bị trội chặt: nếu một chiến lược luôn cho kết quả kém hơn một chiến lược khác dù đối phương làm gì, người chơi duy lý sẽ không dùng nó. Loại đi và lặp lại với bảng nhỏ hơn.
- Với từng cột, đánh dấu phản ứng tốt nhất của người chơi hàng: trong mỗi cột, gạch dưới kết quả tốt nhất cho người chơi chọn hàng.
- Với từng hàng, đánh dấu phản ứng tốt nhất của người chơi cột: trong mỗi hàng, gạch dưới kết quả tốt nhất cho người chơi chọn cột.
- Ô nào được gạch dưới cả hai giá trị là cân bằng Nash thuần tuý: tại đó mỗi người đang phản ứng tốt nhất với người kia.
- Nếu không có ô nào, như trò oẳn tù tì, cân bằng nằm ở chiến lược hỗn hợp: mỗi người ngẫu nhiên hoá sao cho đối phương bàng quan giữa các lựa chọn của họ. Ở oẳn tù tì, đó là chọn mỗi phương án với xác suất một phần ba.
- Nếu có nhiều ô, lý thuyết thuần tuý không nói cân bằng nào sẽ xảy ra; cần thêm tiêu chí như hiệu quả, rủi ro hay điểm hội tụ, bàn ở phần sau.
Hai điểm cần giữ khi diễn giải. Thứ nhất, cân bằng Nash là khái niệm ổn định, không phải khái niệm tốt: nó cho biết kết quả nào không ai muốn đơn phương rời khỏi, không cho biết kết quả đó có đáng mong muốn. Thứ hai, nó giả định mỗi người đúng về chiến lược của người kia – một giả định mạnh, vì vậy cân bằng thường được hiểu như điểm dừng của một quá trình học hỏi hoặc thích nghi hơn là kết quả tính toán tức thời.
Thế lưỡng nan trong đời thực: từ cuộc chiến giá đến đồ án nhóm
Hai cửa hàng điện máy cạnh nhau trên một con phố đều lãi hơn nếu cùng giữ giá, nhưng mỗi bên có động cơ giảm giá để giành khách của bên kia; kết cục cả hai giảm giá và lãi mỏng. Đây là lý do thị trường ít người bán vẫn có thể cạnh tranh gay gắt, và cũng là lý do thoả thuận ấn định giá – một cách thoát thế lưỡng nan gây hại cho người mua – bị luật cạnh tranh nghiêm cấm. Quảng cáo trong ngành bão hoà cũng có cấu trúc tương tự: nếu cả hai cùng cắt quảng cáo thì thị phần gần như không đổi mà chi phí giảm, nhưng không ai dám cắt trước.
Ở quy mô rộng hơn, đánh bắt cá ven bờ, khai thác nước ngầm và phát thải khí nhà kính là thế lưỡng nan nhiều người chơi: mỗi bên được trọn lợi ích khi khai thác thêm, chi phí chia cho tất cả. Ngay trong lớp học, đồ án nhóm là một phiên bản nhỏ: mỗi thành viên có động cơ để người khác gánh việc, trong khi điểm nhóm chia đều.
Nhận ra cấu trúc thế lưỡng nan có giá trị thực hành vì nó chỉ ra hướng giải: thay đổi bảng thưởng phạt. Có ba cách chính – làm cho phản bội bị phạt (hợp đồng, chế tài, danh tiếng), làm cho trò chơi lặp lại để tương lai đủ quan trọng, hoặc thay đổi thông tin để hành vi của mỗi người quan sát được. Một giảng viên chấm điểm đồ án theo đóng góp cá nhân có ghi nhận, thay vì chia đều, đang thay đổi chính bảng thưởng phạt đó.
Khi trò chơi lặp lại: Axelrod và chiến lược ăn miếng trả miếng
Nếu thế lưỡng nan chỉ chơi một lần, phản bội là duy lý. Nếu chơi lặp lại vô hạn hoặc không biết khi nào kết thúc, bức tranh thay đổi căn bản. Một người hôm nay phản bội sẽ bị trả đũa ở các lượt sau, nên hợp tác có thể được duy trì như một cân bằng. Kết quả hình thức này được gọi là định lý dân gian (folk theorem), vì nó được giới lý thuyết trò chơi biết đến rộng rãi trước khi có ai công bố chứng minh chính thức: với người chơi đủ kiên nhẫn, rất nhiều kết quả – kể cả hợp tác hoàn toàn – có thể là cân bằng của trò chơi lặp lại.
Chính sự dồi dào cân bằng ấy đặt câu hỏi: chiến lược nào thực sự hoạt động tốt? Khoảng năm 1980, nhà khoa học chính trị Robert Axelrod tổ chức các giải đấu máy tính, mời các nhà nghiên cứu gửi chương trình chơi thế lưỡng nan lặp lại với nhau. Chiến lược thắng, do Anatol Rapoport gửi, đơn giản đến bất ngờ: ăn miếng trả miếng – hợp tác ở lượt đầu, sau đó lặp lại đúng nước đi trước của đối phương. Axelrod tổng kết trong cuốn "The Evolution of Cooperation" (1984) bốn đặc điểm của chiến lược thành công: tử tế (không phản bội trước), biết trả đũa, biết tha thứ, và rõ ràng để đối phương dễ đọc.
Cần đọc kết quả này đúng mức. Ăn miếng trả miếng không phải chiến lược tốt nhất tuyệt đối; thành tích phụ thuộc vào tập đối thủ. Khi có nhiễu – một nước hợp tác bị hiểu nhầm thành phản bội – hai người chơi ăn miếng trả miếng có thể rơi vào vòng trả đũa vô tận, và các biến thể biết tha thứ hơn hoạt động tốt hơn. Bài học bền vững là hợp tác có thể nảy sinh giữa những cá thể ích kỷ khi có tương lai chung, mà không cần lòng tốt hay một quyền lực trung tâm.
Không phải trò chơi nào cũng là thế lưỡng nan
Săn hươu – vấn đề niềm tin. Lấy cảm hứng từ một đoạn của Jean-Jacques Rousseau: hai thợ săn cùng săn hươu thì được bữa lớn, nhưng mỗi người có thể bỏ đi săn thỏ để chắc chắn có bữa nhỏ. Có hai cân bằng Nash: cùng săn hươu (hiệu quả) và cùng săn thỏ (an toàn). Khác thế lưỡng nan, ở đây không ai có động cơ phản bội nếu tin người kia hợp tác – vấn đề là niềm tin. Nhiều tình huống được gọi nhầm là thế lưỡng nan thực ra là săn hươu, và lời giải khác hẳn: xây niềm tin và kỳ vọng chung thay vì chế tài.
Trò chơi gà – ai nhường trước. Hai người lái xe lao vào nhau, ai bẻ lái trước là thua mặt; không ai bẻ thì cả hai gặp nạn. Có hai cân bằng thuần tuý, mỗi cân bằng một người nhường. Trò chơi này giúp phân tích các tình huống leo thang và chiến thuật cam kết: bên nào làm cho việc mình nhượng bộ trở nên bất khả – và làm đối phương tin điều đó – thì có lợi thế.
Trò chơi phối hợp và điểm hội tụ. Khi mọi bên chỉ cần chọn giống nhau, như đi bên phải hay bên trái đường, mọi lựa chọn trùng nhau đều là cân bằng. Thomas Schelling, trong "The Strategy of Conflict" (1960), chỉ ra con người thường hội tụ vào một lựa chọn nổi bật nhờ văn hoá hay ngữ cảnh – gọi là điểm hội tụ. Hỏi hai người lạ hẹn gặp nhau ở một thành phố mà không liên lạc được, nhiều người chọn một địa điểm biểu tượng vào giữa trưa. Schelling nhận giải Nobel năm 2005.
Giới hạn: khi con người không chơi như lý thuyết
Lý thuyết trò chơi cổ điển giả định người chơi duy lý, chỉ quan tâm kết quả của mình và biết đối phương cũng vậy. Thực nghiệm cho thấy cả ba giả định đều có vấn đề. Trò chơi tối hậu thư, được Werner Güth và cộng sự nghiên cứu thực nghiệm năm 1982, là ví dụ rõ nhất: người thứ nhất đề xuất cách chia một khoản tiền, người thứ hai chấp nhận hoặc từ chối – từ chối thì cả hai không được gì. Lý thuyết dự báo người đề xuất chia phần nhỏ nhất và người nhận chấp nhận mọi số dương. Thực tế đề xuất phổ biến thường nằm khoảng 40–50%, và đề xuất quá thấp thường bị từ chối, dù từ chối nghĩa là mất tiền.
Những kết quả này không phá bỏ lý thuyết trò chơi mà mở rộng nó. Mô hình hiện đại đưa vào sở thích về công bằng và đáp trả, như trong công trình của Ernst Fehr và Klaus Schmidt về ác cảm bất bình đẳng, và mô hình hoá mức độ suy luận hữu hạn – người chơi chỉ nghĩ trước vài bước thay vì vô hạn. Các nghiên cứu xuyên văn hoá, như dự án của Joseph Henrich và cộng sự ở nhiều xã hội quy mô nhỏ, còn cho thấy mức chia trong trò chơi tối hậu thư khác nhau rõ rệt theo chuẩn mực thị trường và hợp tác của từng cộng đồng.
Một giới hạn khác là đa cân bằng: nhiều trò chơi có vô số cân bằng Nash, và lý thuyết thuần tuý không chọn được một. Selten và Harsanyi phát triển các tinh chỉnh như cân bằng hoàn hảo trò chơi con để loại các đe doạ không đáng tin, nhưng không có tiêu chí nào giải quyết được mọi trường hợp. Vì vậy dùng lý thuyết trò chơi tốt nhất là như một khung để nhìn rõ cấu trúc động cơ – ai được gì, ai biết gì, ai đi trước – hơn là một cỗ máy dự báo chính xác hành vi.
Câu hỏi thường gặp
Cân bằng Nash có luôn tồn tại không?
Với mọi trò chơi có hữu hạn người chơi và hữu hạn chiến lược, Nash chứng minh luôn tồn tại ít nhất một cân bằng nếu cho phép chiến lược hỗn hợp, tức chọn ngẫu nhiên theo xác suất. Cân bằng thuần tuý thì có thể không tồn tại, như trong oẳn tù tì. Chứng minh của Nash dùng định lý điểm bất động của Kakutani.
Cân bằng Nash khác tối ưu Pareto thế nào?
Cân bằng Nash là trạng thái không ai muốn đơn phương thay đổi. Tối ưu Pareto là trạng thái không thể làm ai khá hơn mà không làm người khác kém đi. Hai khái niệm độc lập: thế lưỡng nan người tù có cân bằng Nash không tối ưu Pareto, còn kết quả cùng hợp tác tối ưu Pareto nhưng không phải cân bằng.
Bộ phim về John Nash giải thích cân bằng Nash có đúng không?
Cảnh quán bar trong phim A Beautiful Mind năm 2001 thường bị các nhà kinh tế chỉ ra là minh hoạ sai. Kết quả mà nhân vật đề xuất, trong đó mọi người phối hợp để không ai chọn cùng một người, không phải cân bằng Nash vì mỗi người có động cơ đơn phương đổi lựa chọn. Bộ phim kể về cuộc đời ông, không phải bài giảng lý thuyết.
Lý thuyết trò chơi được dùng trong đấu giá như thế nào?
Thiết kế đấu giá là ứng dụng thành công nhất của lý thuyết trò chơi. William Vickrey phân tích đấu giá giá thứ hai, nơi người thắng trả giá cao thứ nhì, khiến việc đặt đúng giá trị thật trở thành chiến lược trội. Paul Milgrom và Robert Wilson nhận giải Nobel năm 2020 cho việc thiết kế các hình thức đấu giá mới, dùng cho tần số viễn thông.
Trò chơi tuần tự khác trò chơi đồng thời ra sao?
Trong trò chơi tuần tự, người đi sau quan sát được nước đi trước, nên phân tích bằng cây trò chơi và quy nạp ngược từ cuối về đầu. Khái niệm cân bằng hoàn hảo trò chơi con của Selten loại bỏ những đe doạ không đáng tin, tức những hành động mà người chơi sẽ không thực hiện nếu thực sự đến lượt mình.
Thế lưỡng nan người tù có liên quan đến biến đổi khí hậu không?
Có, đó là một thế lưỡng nan nhiều người chơi: mỗi nước chịu toàn bộ chi phí cắt giảm phát thải nhưng chỉ nhận một phần nhỏ lợi ích. Phân tích này giải thích khó khăn của các thoả thuận quốc tế và gợi ý các cơ chế như liên minh có ràng buộc, chuyển giao bù đắp và minh bạch hoá cam kết.